Robuste Entscheidungen: Optimale Auswahl im Rahmen weicher Modelle (Statistische Beihefte/Statistical Monographs)

Ausgangspunkt der vorliegenden Arbeit ist einerseits die in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften heute weitverbreitete Ein sicht, da die fr die Anwendung eines bestimmten Entscheidungs modells notwendigen Kenntnisse in aller Regel nur schwer be schaffbar sind. Im allgemeinen hat man nur vage und mit Unsicher heiten und Ungenauigkeiten behaftete Informationen. Andererseits werden die mit bestimmten Entscheidungsmodellen einhergehenden optimalen Verfahren hufig deshalb kritisiert, weil sie schon bei geringen Abweichungen von den Modellannahmen erheblich an Optima1itt verlieren. Gerade bei unvollkommener Information ist also die "Robustheit" eines Verfahrens von ausschlaggebender Bedeutung. Ziel der folgenden Untersuchungen ist es, ein sogenanntes Gpund modell robuster Entsaheidungen zu entwickeln. Dieses aufbau orientierte Grundmodell soll die Struktur jener Entscheidungs situationen zum Ausdruck bringen, in denen Entscheidungen mit unsicherem Ergebnis gefllt werden mssen und in denen der Ent scheidungstrger eine "robuste" Entscheidung anstrebt. Eine derartige Entscheidung ist dadurch gekennzeichnet, da der Ent scheidungstrger bereit ist, einen bestimmten Verlust an Opti ma1itt zu zahlen, um dafr ein gewisses Ma an Sicherheit vor unerwnschten Konsequenzen zu gewinnen. 1. Einleitung und Vorhaben.- 1.1 Grnde fr die Anwendung klassischer Schtz- bzw. Testverfahren.- 1.1.1 Klassische Schtz- bzw. Testverfahren und deren Optimalittseigenschaften.- 1.1.2 Naturwissenschaftliche Tradition.- 1.1.3 Zentraler Grenzwertsatz.- 1.1.4 Rechenaufwand.- 1.2 Traditionelle Vorgehensweise der Statistik und ihre Kritik.- 1.2.1 Traditionelle Vorgehensweise.- 1.2.2 Nichtverifizierbarkeit der Modellannahmen.- 1.2.3 Schwchen der Optimalittskriterien.- 1.2.4 "Unstetigkeit" und "Empfindlichkeit" klassischer Verfahren.- 1.2.5 Nichtbercksichtigung von Nichtstichproben- und Modell-Adquationsfehlern.- 1.3 Forderungen, die sich aus der Kritik an der traditionellen Vorgehensweise der Statistik ergeben.- 1.3.1 Bildung von "Unsicherheits-Modellen".- 1.3.2 Konstruktion neuer Optimalittskriterien.- 1.3.3 Identifikation von Modell-Adquationsfehlern.- 1.4 Vorhaben.- 2. Weiche Modelle und Robuste Verfahren.- 2.1 Definition des Begriffes "weiches Modell".- 2.1.1 Vorbemerkungen.- 2.1.2 Bemerkungen zum Modellbegriff.- 2.1.3 Begriff des "Umgebungsmodells".- 2.1.4 Begriff des "weichen Modells".- 2.1.5 Begriff der "stochastischen Information".- 2.1.6 Begriff des "weichen Modells (im engeren 30 Sinn).- 2.2 "Robuste" Verfahren.- 2.2.1 Konzept der "Robustheit".- 2.2.2 "Robustheit" als Optimalittskriterium.- 2.2.3 Festlegung einer Aktionenmenge.- 2.2.4 Festlegung einer Zielvorstellung.- 2.2.5 Festlegung eines weichen Modells.- 2.2.6 Festlegung einer Modellannahme.- 2.2.7 Ein Beispiel.- 2.2.7.1 Beschreibung des t-Tests.- 2.2.7.2 Robustheit gegen Abweichungen von der Normalverteilungsannahme.- 2.2.7.3 Robustheit gegen Abweichungen von der Unabhngigkeitsannahme.- 3. Robustheit Als Entscheidungskriterium.- 3.1 Entscheidungsfeld robuster Entscheidungen.- 3.1.1 Aktionenmenge.- 3.1.2 Zustandsmenge.- 3.1.3 Ergebnismenge und Nutzenfunktion.- 3.2 "Prinzip der schwachen Robustheit".- 3.2.1 Herkmmliche Dominanz.- 3.2.2 Schwache R-Dominanz (R1-Dominanz).- 3.2.3 Vergleich von Dominanz und R1-Dominanz.- 3.2.4 "Schwache Robustheit".- 3.3 Entscheidungsregeln zum Prinzip der schwachen Robustheit.- 3.3.1 R1-Optimalitt bezglich M0.- 3.3.2 Maximin-R1-Optimalitt.- 3.3.3 Vergleich von MM-R1-Optimalitt und MM-Optimalitt.- 3.4 "Prinzip der starken Robustheit".- 3.4.1 Starke R-Dominanz (R2-Dominanz).- 3.4.2 Vergleich von R1-Dominanz und R2-Dominanz.- 3.4.3 "Starke Robustheit".- 3.5 Entscheidungsregeln zum Prinzip der starken Robustheit.- 3.5.1 Begriff der "Umgebung".- 3.5.2 Begriff der "Metrik".- 3.5.3 c-Optimalitt.- 3.5.4 Existenz c-optimaler Aktionen.- 3.5.5 Stetigkeitskonzept.- 4. Auswahl Robuster Aktionen Als Multikriterielles Entscheidungsproblem.- 4.1 Operationalisierung der Ziele des Problems der Auswahl robuster Aktionen.- 4.1.1 Zielvorstellungen.- 4.1.2 Partielle Ergebnismenge.- 4.1.3 Operationalisierung durch ?3.- 4.1.4 Operationalisierung mit Hilfe stochastischer Information bei endlichem Umgebungsmodell.- 4.1.4.1 Entscheidungsproblem unter Unsicherheit als multikriterielles Entscheidungsproblem unter Sicherheit.- 4.1.4.2 Multikriterielle Beurteilung der Robustheit von Aktionen bezglich einer Modellannahme Vk.- 4.1.4.3 Amalgamation des zu einer Modellannahme Vk gehrigen Zielfunktionensystems.- 4.2 Amalgamation der Zielfunktionen des Problems der Auswahl robuster Aktionen.- 4.2.1 Zielunterdrckung.- 4.2.2 Vielziele-Optimierung bei linearer partieller Information ber die Zielgewichte.- 4.2.2.1 Darstellung einer ordinalen Artenprferenzrelation durch eine lineare partielle Information ber die Zielgewichte.- 4.2.2.2 Aktionenbewertung nach dem MaxEmin-Prinzip.- 4.2.3 Numerische Ermittlung MaxEmin-R-optimaler Aktionen.- 4.2.3.1 Darstellung des Problems der Auswahl MaxEmin-R-optimaler Aktionen als Zweipersonenspiel.- 4.2.3.2 Ermittlung der zur linearen partiellen Information LPI gehrigen Extremalpunktematrix.- 4.2.3.3 Effizienz MaxEmin-R-optimaler Aktionen.- 5. Grundmodell Robuster Entscheidungen und Dessen Wertung.- 5.1 Grundmodell robuster Entscheidungen.- 5.1.1 Aktionenmenge.- 5.1.2 Weiches Modell.- 5.1.3 Nutzen- und Zielfunktionen.- 5.1.4 Entscheidungsregel.- 5.2 Grundmodell robuster statistischer Entscheidungen.- 5.2.1 Statistische Verfahren.- 5.2.2 Stochstisches weiches Modell.- 5.2.3 Folge von Nutzen - und Zielfunktionen.- 5.2.4 Folge von Entscheidungsregeln.- 5.3 Wertung des Grundmodells robuster Entscheidungen.- 5.3.1 Offenlegung der Komplexitt des Problems der Auswahl robuster Aktionen.- 5.3.2 Problematik der Vorentscheidungen.- 5.3.3 Klrung der Zielvorstellungen bei der Auswahl robuster Aktionen.- 5.3.4 Wahl eines Entscheidungskriteriums.- 5.3.5 Rechtfertigung des MaxEmin-Prinzips.- 5.3.6 Klrung der Kritik am Begriff "Robustheit".- 5.3.7 Notwendigkeit und Problematik asymptotischer Betrachtungen.- 5.3.8 "Inference Robustness" versus "Criterion Robustness".- 5.3.9 Wertung von Robustheitsuntersuchungen.- 6. Strukturierung des Entscheidungsproblems der Auswahl Robuster Verfahren zur Punktschtzung von Lageparametern Anhand des Grundmodells Robuster Entscheidungen.- 6.1 Problem der Parameterpunktschtzung.- 6.1.1 Modellannahmen.- 6.1.2 Realittsnhe der Modellannahmen.- 6.1.3 Zielvorstellungen bei der Auswahl robuster Punktschtzverfahren.- 6.2 Umgebungsmodelle der Normalverteilungsannahme.- 6.2.1 Kontaminationsumgebungen.- 6.2.2 Totalvariationsumgebungen.- 6.2.3 Prokhorov-Umgebungen.- 6.2.4 Globale Umgebungen.- 6.3 Schadens- bzw. Nutzenfunktionen zur Beurteilung der Robustheitseigenschaften von Punktschtzverfahren.- 6.3.1 Asymptotische Varianz.- 6.3.2 Relative Effizienz.- 6.3.3 Absolute Effizienz.- 6.3.4 Stetigkeitskonzept.- 6.3.5 Einflukurve.- 6.3.6 Sensitivittskurve.- 6.3.7 Bruchpunkt.- 6.4 Robuste Punktschtzverfahren.- 6.4.1 M-Schtzer.- 6.4.1.1 Definition.- 6.4.1.2 Hubersche M-Schtzer.- 6.4.1.3 Dilatations-quivarianz.- 6.4.1.4 Festlegung der Konstanten k.- 6.4.1.5 Numerische Ermittlung eines M-Schtzwertes.- 6.4.1.6 Robustheitseigenschaften der Huberschen M-Schtzer.- 6.4.1.7 Weitere Familien robuster M-Schtzer.- 6.4.1.8 Robustheitseigenschaften dieser M-Schtzer.- 6.4.2 L-Schtzer.- 6.4.2.1 Definition.- 6.4.2.2 ?-getrimmte Mittelwerte.- 6.4.2.3 Robustheitseigenschaften der ?-getrimmten Mittelwerte.- 6.4.2.4 ?-winsorisierte Mittelwerte.- 6.4.2.5 Robustheitseigenschaften der ?-winsorisierten Mittelwerte.- 6.4.2.6 Weitere robuste L-Schtzer.- 6.4.3 R-Schtzer.- 6.4.3.1 Definition.- 6.4.3.2 Robuste R-Schtzer.- 6.4.3.3 Robustheitseigenschaften dieser robusten R-Schtzer.- 7. Zusammenfassung der Ergebnisse.- Personenverzeichnis.- Stichwortverzeichnis.